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zu Themen aus Mathematik und Physik

Experimentalphysik II für Physik-Studierende an der Universität zu Köln im Sommersemester 2013, Vorlesung M. Braden, N. Qureshi

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Aufgabe 1 der Übung 1 im SS2013 (3 Punkte) Kräfte im Atomkern

Im Grundzustand des Wasserstoffatoms haben Elektron und Proton einen Abstand von etwa r= 5*10-11m. Die Masse des Protons ist mp= 1,67*10-27kg, die des Elektrons ist me= 9,11*10-31 kg, die Elementarladung ist e=1,60*10-19 C, die Gravitationskonstante ist G= 6,67*10-11Nm2kg-2 und die Dielektrizitätskonstante ist ε0= 8,85*10-12 C2N-1m-2.

a) Wie groß ist die elektrostatische Anziehungskraft zwischen Elektron und Proton?

Lösungshinweise

Formel zur Coulombkraft zwischen Ladungspunkten benutzen.

Ergebnis

b) Wie groß ist im Vergleich dazu die Gravitationskraft zwischen den beiden

Teilchen?

Lösungshinweise

Formel zur Gravitationskraft zwischen Massenpunkten benutzen.

Ergebnis

 

Aufgabe 2 der Übung 1 im SS2013 (8 Punkte) Millikan-Versuch

Millikan beobachtete feinste Öltröpfchen, die im Schwerefeld der Erde unter Einfluss der Stokesschen Reibung langsam sinken. Erzeugt man nun ein elektrisches Feld, so dass die Tröpfchen nicht mehr sinken, so kann man die auf den Tröpfchen sitzende Ladung bestimmen. (Zur Erinnerung: es muss die Stokessche Reibungskraft F= 6πηrv aufgewendet werden, um eine Kugel mit Radius r mit Geschwindigkeit v durch ein Medium mit Viskosität η zu ziehen.) Sei nun an einem Tröpfchen die Sinkgeschwindigkeit v= 0,3 m/s beobachtet worden. Dieses Tröpfchen kann durch ein elektrisches Feld von 16,7 V/m in der Schwebe gehalten werden.

a) Wie groß ist der Radius und die Masse des Öltröpfchens?

Wegen v= const und somit a= 0 ist die resultierende Kraft auf das Tröpfchen 0. Lösungshinweise

Folglich sind Gravitationskraft und Reibungskraft betraglich gleich groß. Hieraus berechnen sich Radius und Masse.

Ergebnis

b) Wieviele Elementarladungen sitzen auf dem Tropfen?

(Dichte des Öls: 0,9 g/cm3, ηLuft= 1,8*10-5 Ns/m2.)

Lösungshinweise

Wegen v= 0 und somit a= 0 ist die resultierende Kraft auf das Tröpfchen 0. Da diesmal die Reibungskraft 0 ist wegen v= 0, sind Gravitationskraft und elektrische Kraft q*E (Ladung mal elektrisches Feld) betraglich gleich zu setzen. Hieraus berechnet sich q, was als Vielfaches der Elementarladung e angegeben werden kann.

Ergebnis

Aufgabe 3 der Übung 1 im SS2013 (3 Punkte)

Richard Feynman behauptet in seinem Buch Lectures on Physics, dass die Abstoßungskraft zwischen zwei Personen, die jeweils 1% mehr Elektronen als Protonen besitzen und die sich auf eine Armlänge gegenüberstehen, ausreichen würde, die Masse der gesamten Erde mit g= 9,81 m/s2 zu beschleunigen.

Zeigen Sie mittels einer Überschlagsrechnung, dass diese Behauptung richtig ist.

Lösungshinweise

  1. Coulombkraft zwischen 2 derart elektrisch geladenen Personen mit Abstand Armlänge ausrechnen, hierfür Anzahl Atome im 75kg-Mensch bestimmen -Probe ob H-Atom OK oder vielleicht doch besser z.B. CH3COOH (Essigsäure) als Kompromiss-Molekül-, dann Protonenzahl bestimmen, davon 1% ist die angenommene (Überschuss-) Ladung des Menschen.
  2. Dann die erforderliche Kraft zur Beschleunigung der Erde per g aus Newtons Bewegungsgleichung bestimmen, also F= mErde*g
  3. Zum Schluss Vergleich

Ergebnis

 

Aufgabe 4 der Übung 1 im SS2013 (4 Punkte)

Zwei kleine Kugeln mit vernachlässigbarer Größe und jede mit der Masse m= 2,0 g sind mit Fäden vernachlässigbarer Masse und der Länge L= 1,0 m an einem gemeinsamen Punkt aufgehängt (siehe Abbildung).

a) Beide Kugeln tragen die Ladung Q= 60nC. Um welchen Winkel θ werden die Kugeln ausgelenkt?

b) Die eine Kugel trage jetzt die Ladung Q1= 40 nC und die andere die Ladung Q2= 90nC. Welche Auslenkungen treten jetzt auf?

Lösungshinweise

Aus der Geometrie der Kugel-Lage folgt sin(θ)= d/2L mit Abstand d der Kugeln.

Aus dem Kräfteparallelogramm folgt: tan(θ)= FCoulomb/ FGravitation.

Der Versuch, durch Gleich- oder Einsetzen der beiden Terme auf den benötigten Ladungsabstand d zu schließen, führt zu algebraisch schwierigen Termen der Größenordnung d3. Die Kleinwinkel-Näherung sin(θ)= tan(θ) fόhrt zum Ziel.

Ergebnis

Aufgabe 5 der Übung 1 im SS2013 (3 Punkte)

Drei gleich große positive Ladungen Q1, Q2 und Q3 befinden sich an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge a. Wie groß müsste eine negative Ladung im Mittelpunkt des Dreiecks sein, damit für jede Ladung Gleichgewicht der Kräfte bestünde? Wäre dieses Gebilde nach außen elektrisch neutral?

Lösungshinweise

Für die zentrale Ladung Q gilt in jedem Fall das Kräftegleichgewicht.

Betrachtung der durch Q, Q2 und Q3 erzeugten Coulombkräfte auf Q1 ergibt die erforderliche Kraft in Richtung Q und lässt somit aufgrund des Abstandes von Q zu Q1 auf die erforderliche Ladung Q schließen. Gleiche Überlegungen gelten auch für Bilanz der Coulombkräfte auf Q2 und Q3. Die Kräfte in den Ladungen Q1, Q2 und Q3 greifen anders als in Q nicht im 120-Winkel an.

Ergebnis

Aufgabe 6 der Übung 1 im SS2013 (8 Punkte)

Zwischen zwei gleichen Punktladungen Q1 und Q1' im festen Abstand 2r ist eine weitere Punktladung Q2 mit der Masse M2 angebracht (siehe Abbildung). Q2 kann sich nur längs der Mittelsenkrechten bewegen.

a) Welche Vorzeichen müssen die drei Ladungen haben, damit die Lage von Q2 für Δx= 0 eine stabile Gleichgewichtslage ist (keine Rechnung)?

b) Bestimmen Sie die mechanische Schwingungsfrequenz von (Q2, M2) für eine harmonische Schwingung kleiner Amplitude Δx.

Lösungshinweise

Eine harmonische Schwingung liegt vor, falls die Rückstellkraft linear proportional zur Auslenkung, hier x, ist. Deshalb muss für die Rückstellkomponente als Funktion der Auslenkung x eine lineare Näherung mittels Tangentengleichung angesetzt werden. Terme höherer Ordnung von x fallen somit weg, was durch den Hinweis nur kleiner Auslenkungen (die z.B. quadriert noch kleiner werden) gerechtfertigt ist.

Die Rückstellkraft berechnet sich als x-Komponente der Summe der Coulombkräfte auf Q2.

Diese Rückstellkraft ist die resultierende Kraft für die Newton-Bewegungsgleichung: F(Rückstell)= m*a(t)= m*x''(t) auf der X-Achse.

In der Rückstellkraft erscheint x(t), so dass eine Differenzialgleichung in x(t) und x''(t) zu lösen ist mit dem Ansatz der Art x(t)= x0*cos(ω*t),

wobei ω die Kreisfrequenz der Schwingung ist, aus welcher sich per f= ω/(2*π)

die gesuchte Schwingungsfrequenz bestimmt.

Lösung a)

Q1 und Q2 haben Ladung unterschiedlichen Vorzeichens, Vorzeichen von Q1 stimmt mit dem von Q1 überein, sonst würde keine resultierende Kraft auf Q2 wirken.

Lösung b)

Schritt 1: Berechnung der Coulombkräfte auf Q2.

Hinweis: Zur Verdeutlichung des rückstellenden Charakters der Coulombkräfte wird das laut a) negative Ergebnis durch das Minus-Rechenzeichen angezeigt. Q1 und Q2 sind also als Beträge anzusehen.

Die anziehende Coulombkraft von Q1 auf Q2 beträgt F21= -Q1*Q2/(4*π*ε0*d2) mit d2= r2+ x2, wobei x für das in der Aufgabenstellung benutzte Δx steht.

Schritt 2: Berechnung der x-Komponenten.

Für die x-Komponente F21x dieser Kraft gilt dann wegen ähnlicher Dreiecke laut Abbildung: x/d= F21x/F21 :

F21x= F21*x/d mit d= (r2+ x2)0,5. Einsetzen von F21 auf der rechten Seite liefert:

F21x= -Q1*Q2*x /(4*π*ε0*d3)= -(Q1*Q2/4*π*ε0)*(x/d3)= -(Q1*Q2/4*π*ε0)*x/(r2+ x2)1,5.

Somit ist F21x als Funktion von x dargestellt, also F21x(x).

Die anziehende Coulombkraft von Q1 auf Q2 liefert die gleiche x-Komponente, so dass auf Q2 insgesamt die x-Komponente F2x(x)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*x/(r2+ x2)1,5 wirkt.

Man erkennt, dass für x= 0 die in x-Richtung wirkende Kraftkomponente F2x(x) Null wird, wie es sein soll. F2x(x) stellt also die auf Q2 wirkende Rückstellkraft in x-Richtung dar.

Schritt 3: Linearisierung

Für x≠ 0 wird für F2x(x) eine lineare Näherung angesetzt, damit anschließend eine lineare Differenzialgleichung gelöst werden kann. Aus der Taylor-Reihe 1. Ordnung für f(x) um die Entwicklungsstelle x0 oder mit einer Geraden an die Kurve f(x) im Berührpunkt (x0/f(x0)) erhält man die Tangentengleichung

t(x)= f(x0)*(x- x0)+ f(x0).

Mit der hier verwendeten Rückstellkraft F2x(x) schreibt sich dies als:

FRück(x)= F2x(x0)*(x-x0)+ F2x(x0)

Mit x0= 0 bleibt die lineare Näherung von F2x(x) zur Rückstellkraft FRück(x):

FRück(x)= F2x(0)*x+ F2x(0), wobei F2x(0)= 0, wie zum Ende von Schritt 2 auch anschaulich einsehbar..

Mit der per Quotientenregel aufwändig erstellten Ableitungsfunktion

F2x(x)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*{1*(r2+ x2)1,5- x*1,5*(r2+ x2)0,5*2*x}/(r2+ x2)3

F2x(x)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*{(r2+ x2)1,5- (r2+ x2)0,5*3*x2}/(r2+ x2)3.

An der Entwicklungsstelle x0= 0 wird F2x(x) zu

F2x(0)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*{(r2+ 02)1,5- (r2+ 02)0,5*3*02}/(r2+ 02)3=

F2x(0)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*(r3/r6)= -(Q1*Q2/2*π*ε0*r3), was zu einer festen Zahl -α zusammengefasst sei.

Die lineare Näherung zu der Rückstellkraft in x-Richtung FRück(x) lautet also:

FRück(x)= -α*(x-0)+ 0= -α*x.

Schritt 4: Bewegungsgleichung

Diese Rückstellkraft führt zu einer Beschleunigung x(t) der Masse M2 in x-Richtung gemäß Newton-Bewegungsgleichung:

FRück(x)= M2*x(t), also

-α*x(t)= M2*x(t) mit α= (Q1*Q2/2*π*ε0*r3) >0, da Q1, Q2 Beträge sind

Schritt 5: Lösen der Differenzialgleichung

Ansatz zur Lösung dieser homogenen linearen Differenzialgleichung zweiter Ordnung ist: x(t)= A*cos(ω*t)+ B*sin(ω*t)

(Bemerkung: Welche Funktionen sollten sich auch sonst bis auf Faktoren bei zweifachem Ableiten reproduzieren? Der versuchsweise Ansatz einer Exponentialfunktion führt zu komplexen Zahlen und somit auch wieder auf trigonometrische Funktionen.)

Die beiden Anteile sinus und cosinus können auch zu einer verschobenen cosinus-Funktion zusammengefasst werden wie folgt:

x(t)= xA*cos(ω*t-φ), wobei hier nur die Kreisfrequenz ω interessiert, Startamplitude xA und Phasenverschiebung φ folgen aus Anfangs- oder Randbedingungen.

Zweifaches Differenzieren nach der Zeit liefert:

x(t)= -ω2*xA*cos(ω*t-φ). Dies ergibt zusammen mit dem Ansatz x(t)= xA*cos(ω*t-φ) eingesetzt in die Differentialgleichung -α*x(t)= M2*x(t):

-α*xA*cos(ω*t-φ)= -ω2*M2*xA*cos(ω*t-φ). Teilen durch xA und Subtrahieren auf die linke Seite ergibt:

-α*cos(ω*t-φ)+ ω2*M2*cos(ω*t-φ)=0

Ausklammern liefert : cos(ω*t-φ)*(M22- α)= 0

Damit diese Gleichung für alle Zeiten t gilt, ist offenbar ω= (α/M2)0,5.

Also: ω= (Q1*Q2/2*M2*π*ε0*r3)0,5

Division durch (2*π) ergibt dann die gesuchte Schwingungsfrequenz der mit Q2 geladenen Punktmasse M2 auf der x-Achse zwischen den beiden gleich großen Ladungen Q1 und Q1 hindurch:

Ergebnis

f= (Q1*Q2/8*ε0*M23*r3)0,5, wobei die betragsmäßig angegebenen Ladungen Q1 und Q2 unterschiedliche Vorzeichen haben.

 

Physik für RFH-Köln im Wintersemester 2012

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Aufgabe 1 der Klausur 2 im SS2012

Ein Flugzeug soll einen Flughafen in Nordrichtung anfliegen, der 1200 km entfernt liegt. Die nominelle Reisegeschwindigkeit des Flugzeugs beträgt 400 km/h. Während des Fluges herrscht ein konstanter Seitenwind von 30 km/h aus Richtung "Nordwest".

  1. Wie groß wäre die Ortsabweichung vom Zielort nach der regulären Flugzeit, wenn keine Kurskorrektur erfolgen würde? (90 km)
  2. Nach Ablauf der regulären Flugzeit nimmt der Pilot eine Kursänderung vor und steuert das Ziel direkt an. Mit welcher Verspätung wird der Zielflughafen erreicht? (14 Min, 36 Sek.)

Hinweise zu a)

Am übersichtlichsten ist die Darstellung von Orten und Geschwindigkeiten mit Vektoren in der x-y-Ebene. Ohne Kurskorrektur ergibt sich die resultierende Geschwindigkeit v als Summe aus Flugzeug-Geschwindigkeit und Wind-Geschwindigkeit (hier auf Vektorlänge 30km/h achten). Der Ort nach regulärer Zeit bestimmt sich aus s(t)= v*t und somit auch die Abweichung vom Flughafen.

Hinweise zu b)

Aus dem in a) bestimmten Ort nach regulärer Zeit ergibt sich der zur Flughafen-Erreichung erforderliche neue Vektor für die resultierende Geschwindigkeit. Obwohl ja der herrschende Wind berücksichtigt werden muss, ergibt sich für den Piloten ein einfaches Ergebnis, so dass man nach Lösung der Aufgabe meinen muss, dass die Lösung auch mit "bürgerlichem Rechnen" möglich wäre. Das ist für diese spezielle Aufgabe sogar richtig, im Allgemeinen jedoch falsch.

Aufgabe 2 der Klausur 2 im SS2012

Der Fahrer eines Pkw bremste wegen einer Baustelle den Wagen mit der konstanten Beschleunigung -2,5 m/sec2 ab und reduzierte damit die Geschwindigkeit von 150 km/h auf 60 km/h.

Wie lang war der Bremsweg und wie viel Zeit erforderte der Bremsvorgang? (280,56 m, 10 Sek.)

Hinweise

Da jegliche dynamische Angaben wie Kraft, Masse und Energie fehlen, kann nur kinematisch gerechnet werden. Es kommen also nur die Definitionen von Geschwindigkeit und Beschleunigung zum Einsatz bzw. die hieraus abgeleiteten funktionalen Formeln für Ort und Geschwindigkeit als Funktionen der Zeit. Beginnt man mit der Bremszeit, wird der zeitlose Zusammenhang 2*a*s=v12-v02 nicht benötigt.

Aufgabe 3 der Klausur 2 im SS2012

Ein Klotz der Masse m liegt auf einer ebenen Platte, die definiert um einen bestimmten Winkel α geneigt werden kann. Wenn der Neigungswinkel α = 18 betrδgt, beginnt der Klotz zu rutschen.

Wie groß ist die Haftreibungszahl 0 des Quaders auf der Platte? (0,325)

Hinweise

Am Schwerpunkt ist hier die übliche Kräftebilanz anzusetzen: F(Hangabtrieb)= F(Brems). Mit den üblichen Ansätzen, dass sowohl Hangabtriebskraft und Normalkraft trigonometrische Anteile der Gewichtskraft sind und die Bremskraft wiederum stets ein Teil (0) der Normalkraft, kommt man zum Ergebnis.

Aufgabe 4 der Klausur 2 im SS2012

Von einer Weltraumstation mit der Masse mS = 200 t wird ein Teilmodul der Masse mM = 50 t mit konstanter Kraft in Verbindungsrichtung der beiden Körperschwerpunkte abgestoßen. Nach dem Kraftstoß bewegt sich das Modul mit der Geschwindigkeit w = 0,5 m/sec von der Station weg.

Wie groß war diese Kraft, wenn der Abstoßvorgang zwei Sekunden dauerte? (20 kN)

Hinweise

Mit Impulssatz und Berücksichtigung der gegebenen Differenzgeschwindigkeit w werden die Einzelgeschwindigkeiten der trennenden Massen berechnet. Mit diesen wird die Summe aller Impulsänderungen bestimmt, woraus sich die für den entsprechenden Kraftstoß erforderliche Kraft bestimmt. Im Film rückwärts sieht man einen unelastischen Stoß mit der gemeinsamen Geschwindigkeit Null. Hier wird nochmals deutlich, dass es sich um einen unelastischen Stoß handelt, bei dem der Energiesatz nicht gilt.

Aufgabe 5 der Klausur 2 im SS2012

Beim Anziehen einer Schraubenmutter um den Drehwinkel φ= 420 steigt das Drehmoment linear von M1= 30 Nm (bei φ= 0) auf das Drehmoment M2= 210 Nm (bei φ= 420)

Wie groß ist die beim Anziehen aufgewendete Dreharbeit? (879,65 J)

Hinweise

Ähnlich der translatorischen Arbeit WTrans = F * r bei vom Weg r unabhängiger Kraft F und WTrans = ∫F(r)*dr bei von r abhängiger Kraft F gilt für die Dreharbeit: WDreh = M * φ bei vom Drehwinkel φ unabhängigem Drehmoment M und WDreh = ∫M(φ)*dφ bei von φ abhδngigem M.

Ähnlich wie bei WTrans ist die Dreharbeit einfach die Fläche im Drehmoment-Winkel-Diagramm, wobei der Winkelbereich φ1 bis φ2 in rad angegeben wird.

Aufgabe 6 der Klausur 2 im SS2012

Um die Geschwindigkeit v eines Geschosses der Masse m = 25 g zu ermitteln, wird dieses in eine pendelnd aufgehängte Sandkiste mit der Pendellänge L = 1 m (bis zum Schwerpunkt) und der Masse M = 20 kg geschossen. Nach dem Eindringen des Geschosses schwingt das Pendel um den Winkel α = 19 zu Seite.

Welche Geschwindigkeit v hatte das Geschoss? (828 m/sec)

Hinweise

Zunächst findet ein unelastischer Stoß von mit v fliegendem Geschoss m in die zuerst ruhende Masse M statt. Beide haben sodann infolge ihrer gemeinsamen aus dem unelastischen Stoß folgenden Stoßgeschwindigkeit u eine gemeinsame anfänglich maximale kinetische Energie, die bis zur maximalen Seitwärtsauslenkung um α = 19 vollständig in potentielle Energie umgewandelt wird. Aus der Geometrie folgt die im Umkehrpunkt gültige Hubhöhe und somit die maximale potentielle Energie der beiden Massen M und m. Diese ist gleich der maximalen kinetischen Energie, woraus sich die Stoßgeschwindigkeit u = 1,033875 m/sec bestimmt. Mit der Gesetzmäßigkeit für die Geschwindigkeiten vor und nach dem unelastischen Stoß bestimmt sich die Geschwindigkeit des Geschosses der Masse m.

Aufgabe 7 der Klausur 2 im SS2012

Ein aufrecht stehender, dünner und homogener Stab mit konstantem Querschnitt hat die Masse m1 = 650 g. Auf halber Länge trägt der Stab einen schmalen Bleiring mit der Masse m2 = 650 g.

Wie lang ist der Stab, wenn sein Endpunkt beim Umfallen mit der Geschwindigkeit v = 8 m/sec auf den Boden trifft? (1903 mm)

Hinweise

Ansatz ist E(vorher) = E(nachher). Hierbei E(vorher) = Epot(Stab) + Epot(Ring). Die Summe aller potentiellen Energien der beim homogenen Stab bis in die Höhe l gestapelter Massestückchen kann einfach durch Verlegung aller Massenstückchen in den Stabschwerpunkt also in die Stabmitte berechnet werden. Des Weiteren ist E(nachher) = Erot(Stab) + Erot(Ring). Für beide Massenist der Satz von Steiner zu verwenden, wobei für den schmalen Ring der Symmetrie-Term wegfällt, da für den Bleiring mangels Angaben von Punktmaterie auszugehen ist.

Aufgabe 8 der Klausur 2 im SS2012

Ein Seilpendel besteht aus einer Stahlkugel als Pendelkörper und einem Seil der Länge L = 10 m. Die Kugel wird um 50 cm ausgelenkt und zur Zeit t = 0 sec losgelassen. Infolge des Luftwiderstandes wird das Pendel viskos gedämpft, so dass am Ende der 35. Schwingung(speriode) die Amplitude nur noch 45 cm beträgt.

  1. Wie groß ist der Abklingkoeffizient δ? (4,7453*10-4 1/sec)
  2. Nach wie viel Schwingungen beträgt die Amplitude 5 cm am Ende der Schwingungsperiode? (765)

Hinweise

Die Lösung gelingt mit dem Ansatz für die exponentielle Abnahme der Amplitude gemäß:

A(t) = A0 * e-δ*t mit der angegebenen Startamplitude A0 und dem zu bestimmenden Abklingkoeffizienten δ. Es genόgt, mit den Zeiten t = 35*T für die Amplitude 45cm und t = N*T für die Amplitude 5cm zu rechnen.

Mathematik I für Studierende der Biologie und der Chemie an der Universität zu Köln im Wintersemester 2012

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Aufgabe 1 der Übung 3: Direkter und indirekter Beweis zu einer Aussage über eine Ungleichung für reelle Zahlen

Wir wollen beweisen, dass für beliebige a > 0 und b > 0 die folgende Ungleichung gilt: (a/b) + (b/4a) ≥ 1

a) Direkter Beweis

Zeigen Sie die Behauptung direkt, d.h. starten Sie mit einer wahren Aussage und folgern Sie hieraus die Behauptung. Tipp: Starten Sie mit der Aussage (2a - b)2 ≥ 0.

Lösung 1a:

Als Vorbereitung zur aussagentheoretischen Durchführung des indirekten Beweises in Aufgabe 1b wird der gewünschte Beweis in Aufgabe 1a ebenfalls mit Aussagenlogik geführt wie folgt.

Direkter Beweis: Zeige die Richtigkeit der Aussage:

Aus A {a und b sind beliebige positive Zahlen} folgt B {a/b + b/4a ≥ 1}, also in Kurzform:

Zeige: Aussage (A => B) ist wahr.

Beweis: Seien a und b beliebige positive Zahlen => (2a-b)2 ≥ 0 => (4a2-4ab+b2) ≥ 0 => (4a2-4ab+b2)+4ab ≥ 0+4ab => 4a2+b2 ≥ 4ab /: 4ab/ => a/b + b/4a ≥ 1 q.e.d.

b) Indirekter Beweis oder Widerspruchsbeweis

Nehmen Sie nun an, die Behauptung wäre falsch, und führen Sie dies zu einem Widerspruch. Folgern Sie hieraus, dass die Behauptung stimmen muss.

Lösung 1b

Indirekter Beweis: Zeige die Falschheit der verneinten oder negierten Aussage oder zeige die Falschheit der Gegenaussage, also in Kurzform:

Zeige: Gegenaussage ( A => B) ist falsch. ( steht für "nicht" oder "non", also "Verneinung")

Die Verneinung der Aussage (A => B) zur Gegenaussage ( A => B) gelingt erst, wenn man die Aussage (A => B) zunächst äquivalent umformt zur Aussage (A v B). "v" steht hierbei für logisches "oder". Kurz:

(A => B) <=> (A v B).

Diese Äquivalenz wird mit Wahrheitstabelle gezeigt.

Nun lässt sich die Gegenaussage (A => B) einfach durch die Negation ((A v B) mittels Regel von De-Morgan realisieren zu (A &B). "&" steht hierbei für logisches "und".

Der indirekte Beweis gelingt also wie folgt in Kurzform:

Zeige: Die Gegenaussage (A & B) ist falsch, also ausführlich:

(A {a und b sind beliebige positive Zahlen} & B {(a/b) + (b/4a) < 1}) ist falsch.

Es genügt ein Beispiel, um die Falschheit dieser aus einer Konjunktion ("Und-Aussage") bestehenden Gegenaussage zu zeigen:

Für z.B. a=b=1 wird der zweite Teil der Konjunktion falsch (da durch Einsetzung von 1 für a und für b die Teilaussage B {(1/1) + (1/4) < 1} falsch wird), so dass die Gegenaussage insgesamt falsch ist, folglich die ursprüngliche Aussage richtig ist, q.e.d.

Bemerkung:

Zum indirekten Beweis "Zeige (A => B) ist falsch" ist nicht etwa z.B. die folgende Aussage äquivalent:

"Zeige (B => A) ist falsch."

Die Wahrheitstabelle zeigt sogar, dass (B => A) nicht etwa die Gegenaussage zu (A => B) ist, sondern sogar äquivalent mit (A => B) ist, kurz:

(A => B) <=> (B => A).

Wahrheitstabellen sind also wichtige Hilfen bei der Umformung von logischen Aussagen und Aussageformen.

Experimentalphysik für Studierende der Naturwissenschaften an der Universität zu Köln im Wintersemester 2012

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Aufgabe 1 der Übung 2: Schräger Schuss, Kinematik der Translation in zwei Dimensionen

Ein Bogenschütze schießt seinen Pfeil aus der Anfangshöhe h = 1.5 m unter einem Winkel von 60 gegen die Horizontale ab. Der Pfeil trifft auf 1.5 m Höhe in eine (horizontal) 50 m entfernte Zielscheibe. Wie groß war seine Anfangsgeschwindigkeit beim Abschuss?

Hinweise zum Lösungsweg 1

Prinzip der Superposition: Betrachtung des Ortes z als Funktion der Zeit, also z(t) für den senkrecht nach oben gerichteten Wurf mit Startgeschwindigkeit v0z= v0*sin(α). Dazu die Betrachtung des Ortes x als Funktion der Zeit, also x(t) fόr die unbeschleunigte Vorwärtsbewegung mit der Startgeschwindigkeit und zugleich dauerhaften konstanten Geschwindigkeit v0x= v0*cos(α).

Hinweise zum Lösungsweg 2

Prinzip der Superposition: Betrachtung der Ortsgeschwindigkeit vz als Funktion der Zeit, also vz(t) für den senkrecht nach oben gerichteten Wurf mit Startgeschwindigkeit v0z= v0*sin(α). Dazu die Betrachtung des Ortes x als Funktion der Zeit, also x(t) fόr die unbeschleunigte Vorwärtsbewegung mit der Startgeschwindigkeit und zugleich dauerhaften konstanten Geschwindigkeit v0x= v0*cos(α).

Hinweise zum Lösungsweg 3

Betrachtung des Pfeilortes und der Pfeilgeschwindigkeit in vektorieller Darstellung:

und

Hinweise zum Lösungsweg 4

Aus den Orten z(t) und x(t) des Lösungsweges 1 den Parameter t eliminieren und die erhaltene Ortskurve z(x) untersuchen.

Ergebnis

v0= ((g*xmax)/(2*sina *cosa ))0,5= 23,79875236..... m/sec

Aufgabe 1 der Übung 7: Satz von Gauß und E-Feld einer Punktladung

Aufgabe

  1. Formulieren Sie den Satz von Gauß und zeigen Sie, wie man daraus das elektrische Feld einer Punktladung ableiten kann.
  2. Berechnen Sie das elektrische Feld eines Protons im Abstand r= 0,5Å!
  3. In welche Richtung zeigt es?
  4. Wie groß ist die Kraft, die in diesem Abstand auf ein Elektron wirkt?
  5. Vergleichen Sie diese Kraft mit der Gewichtskraft eines Elektrons.

 

Hinweis

  1. Ausgehend vom Satz von Gauß erhält man nach Positionierung einer Punktladung q in den Mittelpunkt einer Kugelfläche A und Nutzung der Symmetrie der Anordnung das elektrische Feld E der Punktladung q im Abstand r.
  2. Mit den Daten für die elektrische Feldkonstante e 0, die Elementarladung q des Protons und für den gewünschten Abstand r erhält man den Betrag des elektrischen Feldes E.
  3. Die Richtung des E-Feldes zeigt in die Bewegungsrichtung einer positiven im E-Feld ausgesetzten Ladung.
  4. Die Kraft auf eine Ladung wird durch das Coulomb-Kraftgesetz beschrieben: Einsetzen der Daten aus (b) ergibt den Wert für FC.
  5. Die Gewichtskraft des Elektrons beträgt FG= me*g. Quotientenbildung mit dem Ergebnis aus (d) ermöglicht den gewünschten Vergleich der beiden Kräfte.

 

Ergebnis

  1. Das elektrische Feld E der Punktladung q im Abstand r ist:
  2. E(50pm)= 5,76*1011V/m
  3. Das E-Feld zeigt vom Proton weg.
  4. Die Kraft beträgt FC= 92,3nN.
  5. FC/FG= 1,033*1022

Mathematik, Physik und EDV für Schüler, Studenten und Berufstätige im Wintersemester 2012

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